用分形的反向规律认识四色地图定理

钟涛

摘 要：分形理论是近代图论方面新兴发展起来的新理论，如果把分形的有限变化与无限的空间组合在一起就能得到一种新的规律，让复杂的问题变得简单。文章应用分形及其在无限平面空间中的反向结构讨论四色地图问题，并得出相关结论。

关键词：四色地图 分形 反向思维

中图分类号：O157.6 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2019）01（c）-0254-02

如何用反向分形规律认识四色地图定理？

四色地图定理是在绘制世界地图时，总结了一个经验，只需要4种颜色就可以区分不同国家。这是否是一个普遍规律？在数学领域已经给出严格的证明，理解这个证明有相当大的难度。那是否能够降低难度，简化证明呢？如果把四色地图定理看成平面空间的分形分割，涂色是这个分形的反向规律，对四色定理的认识难度就可以大大降低。

1 第一类反向分形规律

先来构造第一类简单的平面分形，第一步用一根直线分割无限的平面空间。

分形的第二步，继续用平行的直线在1、2空间继续分割。

这样的分割可以一直下去，那么应如何认识其中的填色规律呢？首先可在第一步与第二步之间找到以下规律。

假设平面空间2在第2步分割被成3、4，那么可以找到这样的规律：平面空间1、2因为相邻，所以需要两种颜色区分。当平面空间2变化为3、4时，3继承了2的性质与1相邻。4没有继承相邻性质，如果把2看成1的反向不同性，则4因为与2不同而继承了1的反向不同性，变成与1相同的一类事物，因此可以用同一种颜色。

因此，如果把平行直线看成平面的第一类分形，得到的反向分形规律就是不断地循环重复1、2的相邻与不相邻性质，只要用两种颜色就可以区分所有分形得到的空间。由此进一步可以推论：无论曲线、折线，只要不出现交点，保持分形空间线相邻，则这个规律继续适用。

2 第二类反向分形规律

要在无限的平面空间找到区分不同国家的规律，即要相同属性的基本形貌是平面。四色地图问题是平面结构的属性关系问题，不同的关系需要不同的颜色区分。无限平面有两种基本结构：开放面和封闭面，它们之间的关系全息分类如下。

（1）在平面上，二属性共线。如图1所示（虚线表示开放面，下同）。

从开放面1出发与开放面2共线，相邻关系需要两种颜色区分。开放面3是开放面1非共线面，重复开放面1的属性特征，即重复开放面1的颜色，以此类推，在这种结构下無论数量多少只需要两种颜色。

（2）在平面上，三属性共点。从开放面1出发，与开放面2、3共点，需要3种颜色区分，如图2所示。

随着量值的增加，开放面4重复开放面1的属性特征，即重复开放面1的颜色，以此类推，在这种结构下无论数量多少最多需要3种颜色，如图3所示。

（3）前面一、二两种结构组合如图4所示。随着量值的增加，不共点只共线的开放面2，重复第二种结构第二（或三）开放面的性质。既不共点也不共线的开放面3，重复开放面1的属性特征，即重复开放面1的颜色，以此类推，在这种结构下无论数量多少则最多需要3种颜色。

同样新增加的只与开放面1共点的开放面，重复开放面1的属性特征，即重复开放面1的颜色，以此类推，在这种结构下无论数量多少则最多需要3种颜色。

（4）在属性范畴把两点一线的形状定义为节。封闭面与开放面共线的差异在于共节。因此需要增加一颜色区分开放面1与封闭面一的共节关系。在把开放面1和封闭面一组合为共同体作为一个新的起点后，开放面的演绎就与前面一、二、三的结构相同，如图5所示。

同样不考虑外部的开发面，从封闭面一出发，封闭面的变化也与前面一、二、三的结构相同。开放面与封闭面同步变化演绎，与组合体（1、一）非共线、非共点、非节的开放面或封闭面就是1或一属性特征重复的新起点。以此类推，在这种结构下无论数量多少则最多需要4种颜色。

3 结论

综上所述，可得出以下结论：在同一平面内，全息结构的属性关系只有3种，即共线、共节、共点，所以只需要4种颜色区分。并得出推论：把平面进行弯曲，只要不封闭，这个结论同样适用。

4 结语

道德经说：三十辐同一毂，当其无，有车之用也。分形结构为有，平面空间的反向结构为无，其用超过分形。四色地图问题中点、线、面的分形结构为有，反向结构区域的相邻与不相邻关系、封闭与开放关系为无，其用，成四色定理。

参考文献

[1] 张士庆，张号.四色问题的直观几何论证及单纯性地图四色定理[J].图学学报，2013（5）：46-50.

[2] 肯尼思·法尔科内，著.分形几何——数学基础及应用[M].曾文曲，刘世耀，戴连贵，译.北京：人民邮电出版社，1991.

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2020-07-20